Índice de la etiqueta "Lugares geométricos".

1. Potencia
2. Haces de circunferencias coaxiales
3. Polaridad

Potencia, haces de circunferencias coaxiales, polaridad

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Potencia de un punto respecto a una circunferencia

Sean un punto P, una circunferencia de centro O y una recta trazada por P que corta a la circunferencia en los puntos A y B, se denomina potencia p del punto P respecto a la circunferencia O, al producto de las distancias PA y PB.

Si por el punto P trazamos cualquier otra recta secante o tangente a la circunferencia se cumple:

p = PA x PB = PC x PD = PT x PT = (PT)² = K(constante)

Si el punto P es interior a la circunferencia, la potencia es negativa.

Eje radical de dos circunferencias.

Dadas dos circunferencias de centro O₁ y O₂ se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias.

El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.

PA x PB = PC x PD = K

Eje radical de dos circunferencias secantes

Se halla uniendo los puntos de intersección A y B de ambas circunferencias.

Eje radical de dos circunferencias tangentes interiores y exteriores.

Se halla uniendo los centros con el punto de tangencia T y trazando una perpendicular a esa línea por el punto de tangencia.

Eje radical de dos circunferencias exteriores

El eje radical de dos circunferencias exteriores se halla utilizando una circunferencia auxiliar cualquiera que corta a las dos circunferencias propuestas. Lo que nos da dos ejes radicales auxiliares que se cortan en un punto P, por el cual trazamos una recta perpendicular a la línea que une O₁ con O₂ y que es el eje radical de las dos circunferencias dadas

Eje radical de dos circunferencias exteriores.

                                                                                                                  







Eje radical de dos circunferencias cuando el radio de una de ellas vale 0(es un punto).

                                            

Eje radical de dos circunferencias interiores

El eje radical de dos circunferencias interiores se halla utilizando una circunferencia auxiliar cualquiera que corta a las dos circunferencias propuestas. De este modo obtenemos dos ejes radicales auxiliares que se cortan en un punto P. Por este punto trazamos una perpendicular a la línea que une los centros de las dos circunferencias, siendo esta perpendicular el eje radical.

Eje radical de dos circunferencias interiores.

                                                                                                                   

Centro radical de tres circunferencias

Dadas tres circunferencias de centro O₁, O₂, O₃, se llama centro radical al punto C que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias propuestas.

El centro radical será el punto intersección de los ejes radicales de las circunferencias tomadas de dos en dos.

Para hallar el centro radical o Cr se hacen dos circunferencias auxiliares que cortan a las propuestas de dos en dos.Obtenemos así dos ejes radicales que donde se cortan nos producen el centro radical de las tres circunferencias propuestas.

Hallar el centro radical de tres circunferencias.

                                                                                                                   

Otro método para obtener el centro radical sería trazar dos rectas tangentes exteriores  a las circunferencias tomadas de dos en dos. Por el punto medio de cada una de estas tangentes se trazan rectas perpendiculares a las rectas que unen los centros de esas circunferencias (ejes radicales) y donde se cortan tenemos el centro radical.

Ejercicio: Dibujar la circunferencia que tiene el mismo eje radical que las dadas y pasa por P.

                                                                                                                

                                                                               

Ejercicio: Dibujar las circunferencias que tienen el mismo eje radical que las dadas y que son tangentes a la recta r.

                                           

Haces de circunferencias coaxiales

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Al conjunto de circunferencias que tienen un mismo eje radical se le llama haz de circunferencias. Todo punto del eje radical tiene la misma potencia respecto de todas las circunferencias del haz.

Tipos de haces

1.- Haz secante

       Cuando dos circunferencias se cortan, determinan dos puntos de potencia nula. Por dos puntos pasan infinitas circunferencias que pertenecen a ese haz y tienen potencia nula en esos dos puntos. El eje radical pasa por esos puntos y tiene igual potencia respecto de todo el haz. La tangente PT tendrá la misma longitud de radio con respecto a todas las circunferencias del haz y será radio de una circunferencia secante que determinará todos los puntos de tangencia posibles desde P.

2.- Haz tangente


    Será el formado por las infinitas circunferencias que pueden pasar por un punto, este punto tiene potencia nula y es común para todas las circunferencias del haz. La recta que pase por el punto de tangencia y sea perpendicular a la recta que una los centros, será el eje radical y cumplirá la misma condición anterior.

3.- Haz no secante(haz ortogonal)

    Si la recta r es exterior a c, para hallar las restantes circunferencias del haz bastará que tengan sus centros en la recta d y que el punto Q de intersección de d y r tenga la misma potencia respecto de ellas y c. Para obtener esta condición, bastará trazar la circunferencia de centro Q que sea ortogonal a c. Dos circunferencias son ortogonales cuando se cortan de tal modo que dos radios de ambas son tangentes, y por lo tanto perpendiculares entre sí. Toda circunferencia del haz que sea ortogonal a la de centro Q cumplirá la misma condición. Los puntos M y N se llaman polos del haz. 

    Como en los casos anteriores todo punto P del eje radical  tiene la misma potencia para todo el haz  y por tanto las rectas tangentes trazadas desde él a todas las circunferencias del haz tendrán la misma longitud y serán radios de una circunferencia de centro en P.

Polaridad

Polar de un punto respecto de una circunferencia.

Polar e de un punto fijo P, llamado polo, respecto de una circunferencia de centro O, llamada círculo director es el eje radical de dos circunferencias, la del círculo director y la de diámetro OP.

Hallar la polar, conociendo el círculo director y el polo.

El polo es exterior.

                                                                                                                   

El polo es interior.

                    

El polo está en la circunferencia.

En el supuesto de que P se encuentre en la circunferencia, la polar es la tangente a la circunferencia en dicho punto.