lunes, 12 de febrero de 2018

Curvas cónicas

Secciones cónicas

Se denominan secciones cónicas a aquellas superficies que son producidas por la intersección de un  plano con una superficie cónica de revolución. Según la posición del plano secante respecto al eje del cono, en relación con el ángulo en el vértice, se obtienen fundamentalmente tres curvas: elipse, parábola e hipérbola, que son denominadas, por este motivo, curvas cónicas.

Se produce elipse, parábola o hipérbola, respectivamente, según que el ángulo formado entre el plano secante y el eje del cono sea mayor, igual o menor que el semiángulo en el vértice. Casos particulares límites constituyen las posiciones del plano secante cuando contiene al vértice del cono, produciendo en la intersección dos generatrices rectas, o bien cuando el plano secante es perpendicular al eje, en el que se obtiene una sección circular.





Teorema de Dandelín.

En geometría descriptiva se demuestra que el foco, o los focos, de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencia del plano secante con las esferas inscritas en la superficie cónica que lo sean, a su vez, tangentes al plano que produce la sección. Los focos son puntos notables de las cónicas.







La elipse y la hipérbola tienen dos directrices y dos focos; la parábola tiene un solo foco y por tanto una sola directriz, puesto que el plano secante es paralelo a una de las generatrices de la superficie cónica y corta solamente a una rama del cono.
Las directrices de un círculo son rectas del infinito puesto que los planos de contacto y el secante son paralelos, al ser necesariamente perpendiculares al eje de la superficie cónica.

Excentricidad de una curva cónica.

La razón entre las distancias de un punto cualquiera de una curva cónica al foco y a la recta directriz correspondiente, es una cantidad constante y recibe el nombre de excentricidad.
En la elipse, la excentricidad es siempre menor que la unidad PF₂/ PF₁ < 1.
En la parábola es igual a la unidad PF/PD = 1.
En la hipérbola es mayor que la unidad PF₂/PD₂ > 1.
Dada la excentricidad de una cónica, queda definida la condición de ésta.


domingo, 11 de febrero de 2018

La elipse

Definición y propiedades

La elipse es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias de cada uno de ellos a otros dos fijos,denominados focos, es constante. 

La distancia entre los focos recibe el nombre de distancia focal. La suma de distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es igual al eje mayor, llamado también eje real, y se designa por 2a.El eje menor se llama eje imaginario  y se representa por 2b. La distancia focal se designa por 2c.

Los dos ejes de la elipse son ejes de simetría , perpendiculares entre sí, cortándose en sus puntos medios. Este punto de intersección recibe el nombre de centro de la elipse. 
Las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los focos se llaman radios vectores designándose por r, r´. Para cualquier punto de la elipse se verifica  que
 r + r´ = 2a.

Circunferencia principal es aquella que tiene por diámetro el eje mayor.
Circunferencias focales son aquellas que tienen por centro uno de los focos y de radio la longitud del eje mayor 2a.
Considerada cualquier recta tangente a la elipse , todo punto simétrico de un foco respecto a la tangente se encuentra en la circunferencia focal trazada con centro en el otro foco.
Las proyecciones de los focos sobre cualquier tangente trazada a la cónica, pertenecen a la circunferencia principal.







Elipse por puntos










                     


Elipse por afinidad







                  




Recta tangente a la elipse en un punto de ella 



                                             
                                                   












                                                            











                                                            





























                                     
                                      
                                                          Elipse dado eje menor y p 


Problema: Dibujar la elipse dados los focos de la misma y una recta tangente a ella.

                                     
                                               Elipse dada una tangente y dos focos 

sábado, 10 de febrero de 2018

La parábola

Definicion y propiedades

La parábola es una curva abierta y plana, de una sola rama, definiéndose como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo, denominado foco y de una recta fija llamada directriz. Tiene un solo eje de simetría, perpendicular a la directriz y que contiene al foco. El punto de intersección del eje con la curva se denomina vértice, siendo la tangente en el mismo paralela a la directriz y, por tanto, perpendicular al eje.
El vértice, por ser un punto de la curva, equidista del foco y de la directriz, siendo la distancia del mismo a cada uno igual al semiparámetro. Se llama parámetro en la parábola a la longitud de la cuerda que, pasando por el foco, es paralela a la directriz. La circunferencia focal en esta curva es de radio infinito, convirtiéndose en una recta coincidente con la directriz, por lo que los puntos simétricos del foco respecto a cualquier tangente se encuentran en la directriz, lo cual proporciona un método para el trazado de tangentes. La circunferencia principal, también de radio infinito, es la tangente a la curva en el vértice.


                                             













                                         










                                                     












                                                   









                                               










                                                






Problema: De una parábola se conocen el foco y el vértice. Hallar la directriz y dos puntos de la curva que estén a 30 y 40 mm de la curva.



                                    
                                        De una parábola se conocen el foco y el vértice:
                                       hallar la directriz y dos puntos de la curva.

viernes, 9 de febrero de 2018

La hipérbola

Definición y propiedades

La hipérbola es una curva abierta, plana y con dos ramas, definiéndose como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante.
Tiene dos ejes de simetría, perpendiculares entre sí, y, al igual que en la elipse, se representa por 2a el eje mayor o real, que es la distancia comprendida entre los vértices de cada una de las dos ramas de la curva.
El eje menor es perpendicular al mayor en su punto medio, que se denomina centro de la curva. La distancia focal se denomina 2c.
Radios vectores son los segmentos que unen cualquier punto de la curva con los dos focos. Las definiciones de circunferencia principal y circunferencias focales son las mismas que para la elipse.
Asíntota es la tangente a la curva en el infinito. Se denomina hipérbola equilátera cuando estas asíntotas forman 45º respecto a los ejes. Toda asíntota pasa por el centro de la curva.