Fundamentos

FUNDAMENTOS

 En este sistema de representación el elemento de referencia es un diedro recto, formado por dos planos perpendiculares entre sí, uno horizontal, P.H. y otro vertical, P.V.
 La intersección de los dos planos P.H. y P.V. es una recta que recibe el nombre de línea de tierra, L.T. y que se identifica con dos trazos gruesos colocados debajo de sus extremos.

 La línea de tierra L.T. divide a los planos de proyección en dos semiplanos:

el P.H. lo divide en semiplano horizontal anterior y semiplano horizontal posterior y el P.V. lo divide en semiplano vertical superior y semiplano vertical inferior.

 El espacio queda dividido en cuatro diedros rectos, que se enumeran en sentido inverso al giro de las agujas del reloj.

 En el sistema europeo el espectador se supone situado en el primer diedro. Según esto, sólo son visibles las proyecciones de los elementos geométricos, puntos, rectas o figuras planas, situados en el primer diedro ya que los planos de proyección se considera que son opacos.

 Para conseguir que los dos planos del sistema, P.H. y P.V., se transformen en uno solo, se gira uno de ellos, alrededor de la L.T., que hace de bisagra, hasta hacerle coincidir con el otro.

 Según unos autores el plano que gira alrededor de la L.T. es el P.H., y según otros el que realiza el giro es el P.V. Sea como fuere el caso es que el resultado es el mismo.  Sea cual sea el plano que gira alrededor de la L.T., siempre quedarán unidos los siguientes semiplanos:

   - semiplano vertical superior con semiplano horizontal posterior. (SPVS-SPHP)

   - semiplano vertical inferior con semiplano horizontal anterior. (SPVI-SPHA)

Figura 1: es el P.H. el que gira.

Figura 2: es el P.V. el que gira.

El punto

 EL PUNTO

1. Alfabeto del punto.
2. Coordenadas del punto.

1.- Alfabeto del punto

El sistema diédrico es un sistema de proyecciones ortogonales. Por tanto el punto, la línea y demás elementos como figuras, se representan utilizando proyecciones ortogonales, perpendiculares a los planos de proyección.
 Para dominar el sistema es fundamental saber interpretar la nomenclatura que se utiliza, es decir el nombre que se pone a los elementos.
 Aquí vamos a utilizar la siguiente nomenclatura:

         - A es el punto en el espacio
         - a' es la proyección del punto A en el P.V.
         - a es la proyección del punto A en el P.H.


En diédrico el punto real, dado en el espacio, no se utiliza. Con lo que se trabaja es con la proyección de éste en los planos vertical y horizontal.

La distancia del punto A al plano horizontal (P.H.) se denomina cota y queda reflejada en la distancia que hay desde la proyección vertical (a') hasta la L.T..

La distancia del punto A al plano vertical (P.V.) se denomina alejamiento y queda reflejada en la distancia que hay desde la proyección horizontal (a) hasta la L.T..
Ambas proyecciones están unidas por una línea de referencia que es perpendicular a la L.T., esta línea suele representarse con trazo discontinuo, pero también se puede hacer una línea continua muy fina.

Habitualmente con estas dos proyecciones es suficiente para definir la posición del punto pero existe una tercera coordenada que es la desviación, que es la distancia del punto al plano de perfil (PP). Por tanto:

         - a'' es la proyección del punto en el plano de perfil (PP).

2.- Coordenadas del punto

La posición de un punto viene dada por tres coordenadas (x,y,z), siendo la ¨x¨ la desviación, la ¨y¨ el alejamiento y la ¨z¨ la cota del punto.

La cota es positiva cuando se encuentra por encima de la L.T. y negativa si está por debajo.

El alejamiento es positivo cuando se encuentra por debajo de la L.T. y negativo si está por encima.

La desviación no tiene signo puesto que el plano de perfil puede cambiar de lugar según convenga, de tal modo se pondrá la desviación en el sentido izquierda o derecha según lo permita el P.P.

La recta en diédrico

LA RECTA

1. Generalidades.
2. Determinación de las trazas de una recta.
3. Partes vistas y ocultas de una recta.
4. Posiciones de una recta.

1.- Generalidades.

Una recta se representa por sus proyecciones ortogonales y se nombra por medio de una letra minúscula a la cual le añadimos el apóstrofo correspondiente, según sea su proyección en el P.V. o en el P.H., o en el P.P..
La recta se considera ilimitada y puede pasar por uno, dos o como máximo tres diedros a la vez.
Los puntos en los que cambia de diedro se denominan trazas. Las trazas de una recta son puntos dobles ya que pertenecen a la recta y a los planos de proyección. Hay que memorizar la siguiente regla:
- Las trazas de una recta las nombramos con letras mayúsculas.
- La traza H estará siempre en r que es la proyección de la recta R en el P.H. y no tiene apóstrofo.
- La traza V´ estará siempre en r´, proyección vertical de la recta R y en nuestra nomenclatura sí lleva apóstrofo.
A las trazas H y V se les puede ponver subíndice, indicando así la recta a la que pertenecen. Esto es especialmente útil cuando manejamos más de una recta.
La traza H se proyecta en H´ en la línea de tierra. La traza V´se proyecta en V en la L.T..

Un punto que pertenece a una recta tiene sus proyecciones en las proyecciones homónimas de la recta, de este modo p´ estará en r´ y p en r como puede observarse en la figura de abajo.

2.- Determinación de las trazas de una recta

Para determinar las trazas de una recta se sigue la siguiente regla: donde las proyecciones r y r´ cortan a la L.T., trazamos líneas de referencia perpendiculares a la misma, hasta encontrarnos con la otra proyección y en ese punto intersección de la línea de referencia con la proyección estará la traza. Como las trazas están situadas en las proyecciones homónimas de la recta, tendremos que actuar del siguiente modo: 

prolongamos r hasta la L.T., trazamos línea de referencia hasta encontrar a r´ y en ella tendremos la traza V.

Para obtener la traza H, prolongaremos r´ hasta la L.T., aquí trazamos línea de referencia perpendicular a L.T. hasta cortar a r y en ella estará situada la traza H.

3.- Partes vistas y ocultas de una recta

Una vez determinadas las trazas se delimitan las zonas que hay hasta una cualquiera de ellas, entre ellas y a continuación de la otra traza. Debemos tener en cuenta que la traza de la recta nos indica que en ese punto hay un cambio de diedro. Para identificar estos diedros podemos situar puntos en cada una de las zonas identificadas y analizando sus posiciones determinar el diedro que atraviesa la recta.

Pero también podemos utilizar las trazas, que son puntos que perteneces a la recta, para realizar dicho análisis.

En la figura 1 vemos la delimitación entre las trazas, cambio de diedro, y la situación de los puntos A(a,a´) en el primer diedro, B(b,b´) en el cuarto diedro y C(c,c´) en segundo diedro.

fig.1

En la figura 2 se han determinado las partes vistas y ocultas analizando la posición de las trazas. Si la traza H está por debajo de la L.T., se encuentra en el semiplano horizontal anterior. Si la traza V está por debajo de la L.T. quiere decirse que está situada en el semiplano vertical inferior. La unión de dos puntos en cada uno de esos semiplanos nos define el cuarto diedro y por lo tanto lo que queda a la derecha de la traza H es el primer diedro, quedando a la izquierda de la traza V el tercer diedro. 

fig.2

4.-Posiciones de la recta

• Oblicuas a los dos planos de proyección:

tienen dos trazas y pasan por tres diedros.

• Paralelas a uno de los planos de proyección:

Caso 1.- Recta paralela al P.V. o frontal: solamente tiene traza H, pasa por dos diedros, su proyección en el P.H. es paralela a la L.T. y su proyección en el P.V. forma un ángulo con la L.T. que es el que la recta forma con el P.H. y que queda reflejado en su proyección vertical.

Caso 2.- Recta paralela al P.H. u horizontal: solamente tiene traza V, pasa por dos diedros, su proyección en el P.H. forma un ángulo con la L.T. que es el que la recta forma con el P.V. y que queda reflejado en su proyección horizontal, su proyección en el P.V. es paralela a la L.T.

• recta paralela a la L.T.: pasa por un solo diedro, no tiene trazas puesto que es paralela a la L.T. y por tanto también es paralela a los planos de proyección.

• recta contenida en el primer bisector: pasa por dos diedros, tiene sus trazas V y H en un mismo punto de la L.T. y sus proyecciones forman el mismo ángulo con la L.T.

• recta perpendicular al P.V.(recta de punta): pasa por dos diedros, la proyección vertical es un punto que es a la vez la traza V de la recta y su proyección en el P.H. es una recta perpendicular a la L.T.

• recta vertical: pasa por dos diedros, la proyección vertical, r´, es perpendicular a la L.T., solamente tiene traza horizontal H y en ella está también la proyección horizontal, r, de la recta.

• recta de perfil: las proyecciones de la recta de perfil son perpendiculares a la L.T. y están la una a continuación de la otra.

En este caso la recta corta al P.V. por encima de la L.T. y posteriormente corta al P.H. por lo que la traza H también está por encima de la L.T. ya que al juntarse el semiplano vertical superior con el semiplano horizontal posterior quedan las dos trazas por encima de la L.T..

Desarrollo del plano de perfil después de girado y abatido hasta juntarse con el semiplano vertical superior y el semiplano horizontal posterior. De este modo obtenemos la verdadera posición de la recta de perfil a través de la tercera proyección.

El plano en diédrico

EL PLANO

1. Generalidades.
2. Formas de definir un plano.
3. Rectas notables de un plano.
4. Posiciones de un plano.
5. Figuras planas situadas en planos.

1.- Generalidades.

Un plano se representa por sus trazas que son las rectas de intersección de éste con los planos de proyección.
Vamos a nombrar los planos con letras mayúsculas, su traza horizontal sin superíndice, P, y su traza vertical con superíndice, P´. Hay autores que utilizan otras nomenclaturas, como por ejemplo letras griegas con subíndices numéricos.
Las trazas de un plano se cortan en la L.T., ya que tres plano se cortan en un punto. Si tenemos dos planos que son los de proyección, que generan una ´recta intersección que es la L.T., y cortamos ambos con un tercer plano, éste produce un punto intersección situado en la L.T.

Un punto pertenece a un plano cuando sus proyecciones están en las proyecciones homónimas de una recta que tiene sus trazas en las trazas homónimas del plano.

Cuando un punto tiene una de sus proyecciones en una de las trazas del plano su otra proyección está en la L.T.

Nunca un punto está situado en un plano porque tenga sus proyecciones en las trazas homónimas del plano; para que pertenezca a él, debe pertenecer a una recta que a  su vez pertenece al plano.

  

2.- Formas de definir un plano

a) Un plano queda definido por dos rectas que se cortan:

Para obtener las trazas del plano uniremos las trazas homónimas de las dos rectas. Así Hs con Hr nos dará la traza P y V´s con V´r nos dará la traza P´ del plano que definen. Ambas se tienen que cortar en la L.T.

b) Un plano queda definido por dos rectas paralelas:
Como en el caso anterior, uniremos las trazas homónimas de las dos rectas para obtener las trazas del plano. Hr-Hs=P           V´r-V´s=P´
Las dos se cortan el la L.T.

c) Un plano queda definido por un punto y una recta:

Este caso tiene dos soluciones y ambas nos remiten a las expuestas más arriba. En la primera solución trazamos una recta cualquiera R(r,r´) que pase por el punto A(a,a´) propuesto y por un punto B(b,b´) de la recta S(s,s´) propuesta. De este modo el caso se convierte en el primero: plano definido por dos rectas que se cortan.

La segunda solución se obtiene haciendo pasar el punto A una recta paralela a la propuesta, con lo que nos encontramos en el caso de plano definido por dos rectas paralelas.

d) Un plano queda definido por tres puntos no alineados:

Relacionamos los puntos de dos en dos, obteniendo dos rectas r y s que se cortan en un punto, lo que nos remite al primer caso: plano definido por dos rectas que se cortan.

3.- Rectas notables de un plano

1) Rectas horizontales

Son rectas que, perteneciendo al plano en cuestión, son paralelas al plano horizontal. Un plano tiene infinitas rectas horizontales. También se puede definir una horizontal de plano como el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen todos la misma cota. 

2) Rectas frontales

Reciben este nombre las rectas que además de pertenecer al plano, son paralelas al plano vertical de proyección. Una frontal de plano es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen todos el mismo alejamiento.

3) Rectas de máxima pendiente

La característica que identifica a una recta de máxima pendiente de un plano es que su proyección horizontal r´ es perpendicular a la traza horizontal del plano al que pertenece. Para diferenciar la r.m.p. de cualquier otra recta del plano se disponen sobre su proyección horizontal dos líneas paralelas. Una recta de máxima pendiente define por sí sola el plano al que pertenece.

4) Rectas de máxima inclinación 

Su proyección vertical r´ es perpendicular a la traza vertical del plano al que pertenece. Se la identifica poniendo dos tracitos sobre la proyección vertical. Una recta de máxima inclinación define por sí misma el plano al que pertenece.

4.- Posiciones de un plano.

• Planos oblicuos a los dos de proyección.

• Planos paralelos a uno de los de proyección.

a) Paralelo al horizontal: sólo tiene traza vertical.

b) Paralelo al vertical: sólo tiene traza horizontal.

• Plano de perfil.

Tiene sus trazas coincidentes en una recta perpendicular a la L.T.. Es perpendicular a los dos de proyección y a la L.T., para poder trabajar con él es necesario recurrir a la tercera proyección.

• Planos perpendiculares a uno de los de proyección.

a) Proyectante vertical: es perpendicular al P.V. y oblicuo con respecto al plano horizontal. Su traza horizontal forma 90º con la L.T.

b) Proyectante horizontal: es perpendicular al P.H. y oblicuo con respecto al vertical. Su traza vertical forma 90º con la L.T.

• Plano paralelo a la L.T.

Tiene sus trazas paralelas a la L.T., su verdadera posición se halla con la tercera proyección.

• Plano que pasa por la L.T.

Sus trazas esta confundidas con la L.T. y se representa por un punto que pertenece al plano A(a,a´). Su posición se visualiza en la tercera proyección ya que el plano pasa por el punto dado y por la línea de tierra.

5.- Figuras planas situadas en planos

a) El plano es paralelo a uno de los de proyección.

 En este caso es paralelo al plano vertical. El cuadrilátero representado en la figura de abajo se proyecta en el P.H. en la traza del plano P. La figura se proyecta en verdadera magnitud en el plano vertical.

b) El plano es proyectante.

     1) Proyectante horizontal, perpendicular al P.H.
La figura se proyecta como una línea recta sobre la traza horizontal del plano al que pertenece.

    2) Proyectante vertical, perpendicular al P.V.
La figura se proyecta como una línea recta en la traza vertical del plano al que pertenece.

c) El plano es oblicuo a los dos de proyección.

La figura es contenida en rectas horizontales para calcular sus proyecciones en los planos de proyección, pero también se podría contener en rectas frontales u oblicuas.

Intersecciones

Intersección de dos planos oblicuos a los de proyección.

El resultado de la intersección de dos planos oblicuos a los de proyección es una recta oblicua a los dos planos de proyección. 

Intersección de dos planos con trazas paralelas.

a) Las trazas horizontales son paralelas: cuando estas trazas son paralelas el resultado es una recta horizontal.

b) Las trazas verticales son paralelas: el resultado es una recta frontal.