Definición y clasificación
Transformación es un procedimiento por el que se modifica una figura geométrica para obtener otra en la que se mantiene la correspondencia entre alguno de sus elementos y los de la figura original. La figura resultante de este procedimiento se llama transformación o transformada.
Las características que se mantienen entre las dos figuras pueden ser métricas (paralelismo, ángulos, distancias, área...) o proyectivas (alineación de puntos, concurrencia de rectas o planos, pertenencia de unos elementos a otros).
Se dice que un elemento y su transformado son homólogos entre sí. Cuando un elemento coincide exactamente con su transformado (homólogo), decimos que es un elemento doble.
Las transformaciones se pueden clasificar en :
- Isométricas o movimientos: son las que no cambian ni la forma ni la escala de la figura. La traslación, el giro y los tipos de simetría axial y central son transformaciones isométricas
- Isomórficas o conformes: son las que no cambian la forma del objeto al que se aplican pero si su escala. Los diversos tipos de homotecia forman este grupo.
- Anamórficas: pueden alterar tanto la forma como las proporciones del elemento geométrico al que se aplican. La construcción de figuras equivalentes pertenece a este grupo además de la homología, la afinidad y la inversión.
Transformaciones isométricas e isomórficas
Traslación
Para trasladar una figura según la dirección y magnitud dadas por un vector d, se trazan paralelas a él por los vértices de la figura original y se traslada con el compás su longitud sobre cada una de ellas, obteniéndose los vértices A´,B´,C´..., etc.
Ejercicio 2: Trasladar la circunferencia, siguiendo la dirección dada, hasta que sea tangente a la recta
Ejercicio 3: Triángulo rectángulo isósceles que tenga un vértice en cada recta y la hipotenusa valga 50mm
Para trasladar una figura según la dirección y magnitud dadas por un vector d, se trazan paralelas a él por los vértices de la figura original y se traslada con el compás su longitud sobre cada una de ellas, obteniéndose los vértices A´,B´,C´..., etc.
Ejercicio 2: Trasladar la circunferencia, siguiendo la dirección dada, hasta que sea tangente a la recta
Ejercicio 3: Triángulo rectángulo isósceles que tenga un vértice en cada recta y la hipotenusa valga 50mm
Giro
Dado un centro de giro O, consiste en trazar segmentos entre el centro y los vértices A,B,C,D,E, del polígono a girar. Dibujando ángulos iguales al dado (-120º en el ejemplo) con cada uno de los segmentos trazados anteriormente y haciendo arcos de circunferencia con centro en O y radio OA, OB, OC... hasta la intersección con los segmentos girados se determinan los vértices de la figura girada. Dibujando segmentos entre los nuevos puntos se completa la figura.
El giro positivo se realiza en sentido antihorario y el negativo es en sentido horario.
El giro positivo se realiza en sentido antihorario y el negativo es en sentido horario.
Ejercicio 1: Con centro en V girar la circunferencia hasta que sea tangente a la recta.
Ejercicio 2 Hallar el centro de giro de los dos cuadrados dados.
Ejercicio 2 Hallar el centro de giro de los dos cuadrados dados.
Simetría
Simetría axial
Dos figuras son simétricas cuando sus puntos equidistan en lados opuestos de una recta perpendicular al eje de simetría. Para construir una figura simétrica a otra se trazan rectas perpendiculares al eje de simetría que pasen por los vértices de la figura dada A, B, C. Sobre éstas trasladamos las distancias de los vértices al eje para determinar A´,B´,C´. Dibujando los segmentos que los unen se obtiene la figura simétrica a la dada.
Ejercicio 1: Unir los puntos A y B mediante los segmentos AP y PB de manera que la distancia AP+PB sea mínima. El punto P debe estar en la recta R.
Ejercicio 2:Dibujar dos rectas que pase una por el punto A y otra por el punto B, de modo que la recta R dada sea la bisectriz de ambas.
Ejercicio 3: Por simetría completar la figura
Ejercicio 2:Dibujar dos rectas que pase una por el punto A y otra por el punto B, de modo que la recta R dada sea la bisectriz de ambas.
Ejercicio 3: Por simetría completar la figura
Simetría central
En la simetría central los puntos homólogos son los puntos que pertenecen a la figura simétrica y se sitúan sobre rectas que pasan por un punto O, al que se llama centro de simetría. La distancia de cualquier par de homólogos a O es la misma, aunque se sitúan en lados opuestos con respecto al centro de simetría.
La operatividad consiste en trazar segmentos que pasen por los vértices de la figura dada y el centro O, prolongando los mismos. Con centro en O y radios respectivos OA, OB, OC, OD, OE y OF se trasladan mediante arcos los respectivos puntos hasta determinar los simétricos respecto del centro
A´,B´,C´,D´,E´ y F´. Dibujando los segmentos que pasan por los puntos simétricos se obtiene la figura simétrica a la dada.
Ejercicio 1: Dibujar la figura simétrica de la dada respecto del centro O.
Ejercicio 2: Figura homotética de la dada. K = 5/3
Ejercicio 3: Dadas las tres rectas paralelas, dibujar el triángulo equilátero que tiene un vértice en el punto A y los otros dos vértices en las rectas R y T.
Ejercicio 4: Hallar el centro de homotecia directa e inversa de las circunferencias dadas.
Ejercicio 5: Inscribir un cuadrado que tenga un lado sobre la base del triángulo y los vértices restantes en los otros lados del triángulo.
Ejercicio 6: Dibujar la recta convergente con las dadas y que pase por el punto P.
Ejercicio 7: Dibujar el pentágono dada su apotema.
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Simetría y traslación solución
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Giros solución.
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Producto de transformaciones solución.
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Homotecia solución.
Ejercicio 1: Dibujar la figura simétrica de la dada respecto del centro O.
Homotecia
En una representación plana se dice que un punto A´ es resultado de una transformación por homotecia de otro A cuando ambos puntos homólogos están alineados con respecto a un tercero, al que se llama centro de homotecia, y se cumple que el resultado de dividir la distancia OA´ por OA es un número K que es constante para cualquier otro par de puntos homólogos de la misma representación.
Así, en el dibujo se cumpliría que OA´/OA = OB´/OB = OC´/OC = K. Cuando K es una cifra positiva, ambas figuras homólogas se sitúan en el mismo lado del centro de homotecia. Si es una cifra negativa, el centro se sitúa entre las figuras, que se presentan en posición invertida entre ellas (de hecho, cuando K = -1, la homotecia es idéntica a una simetría central). Si K = 1, las dos figuras homólogas son iguales.
El centro de homotecia puede ser exterior a la figura, pero también puede ser interior a ella o estar sobre alguno de sus elementos.
Las figuras obtenidas por homotecia son semejantes entre sí y mantienen los ángulos homólogos iguales y las rectas homólogas paralelas y proporcionales.
Ejercicio 2: Figura homotética de la dada. K = 5/3
Ejercicio 3: Dadas las tres rectas paralelas, dibujar el triángulo equilátero que tiene un vértice en el punto A y los otros dos vértices en las rectas R y T.
Ejercicio 4: Hallar el centro de homotecia directa e inversa de las circunferencias dadas.
Ejercicio 5: Inscribir un cuadrado que tenga un lado sobre la base del triángulo y los vértices restantes en los otros lados del triángulo.
Ejercicio 6: Dibujar la recta convergente con las dadas y que pase por el punto P.
Ejercicio 7: Dibujar el pentágono dada su apotema.
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