lunes, 12 de febrero de 2018

Curvas cónicas

Secciones cónicas

Se denominan secciones cónicas a aquellas superficies que son producidas por la intersección de un  plano con una superficie cónica de revolución. Según la posición del plano secante respecto al eje del cono, en relación con el ángulo en el vértice, se obtienen fundamentalmente tres curvas: elipse, parábola e hipérbola, que son denominadas, por este motivo, curvas cónicas.

Se produce elipse, parábola o hipérbola, respectivamente, según que el ángulo formado entre el plano secante y el eje del cono sea mayor, igual o menor que el semiángulo en el vértice. Casos particulares límites constituyen las posiciones del plano secante cuando contiene al vértice del cono, produciendo en la intersección dos generatrices rectas, o bien cuando el plano secante es perpendicular al eje, en el que se obtiene una sección circular.





Teorema de Dandelín.

En geometría descriptiva se demuestra que el foco, o los focos, de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencia del plano secante con las esferas inscritas en la superficie cónica que lo sean, a su vez, tangentes al plano que produce la sección. Los focos son puntos notables de las cónicas.







La elipse y la hipérbola tienen dos directrices y dos focos; la parábola tiene un solo foco y por tanto una sola directriz, puesto que el plano secante es paralelo a una de las generatrices de la superficie cónica y corta solamente a una rama del cono.
Las directrices de un círculo son rectas del infinito puesto que los planos de contacto y el secante son paralelos, al ser necesariamente perpendiculares al eje de la superficie cónica.

Excentricidad de una curva cónica.

La razón entre las distancias de un punto cualquiera de una curva cónica al foco y a la recta directriz correspondiente, es una cantidad constante y recibe el nombre de excentricidad.
En la elipse, la excentricidad es siempre menor que la unidad PF₂/ PF₁ < 1.
En la parábola es igual a la unidad PF/PD = 1.
En la hipérbola es mayor que la unidad PF₂/PD₂ > 1.
Dada la excentricidad de una cónica, queda definida la condición de ésta.


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