Dibujantes y creador3s: Homología, afinidad, inversión.

Transformaciones geométricas.

Una transformación geométrica es una correspondencia (o aplicación) entre elementos de dos formas geométricas.

El concepto de transformación en geometría es equivalente al concepto de función en álgebra.

Transformaciones proyectivas.

Es una transformación tal que cuatro puntos en línea recta se transforman en cuatro puntos en línea recta, siendo la razón doble de los cuatro primeros igual a la razón doble de los cuatro segundos.

Existen también transformaciones entre haces de rectas, haces de planos, etc.

En geometría se dice que dos formas son proyectivas si una puede obtenerse de la otra mediante proyecciones y secciones.

Homografía.

Se denomina así a la correspondencia entre dos formas geométricas tal que a un elemento de una forma le corresponde un elemento de la misma especie de la otra forma (a un punto le corresponde un punto, a una recta le corresponde una recta, etc.).

Son transformaciones homográficas: la homología, la afinidad, la traslación, la simetría y el giro.

Correlación.

Es la correspondencia entre elementos de distinta especie (a un punto le corresponde una recta, a una recta le corresponde un plano, etc.).

Homología

Homología plana es una transformación homográfica que cumple las siguientes leyes:

Dos puntos homólogos están alineados con un punto fijo llamado centro de homología.
Dos rectas homólogas se cortan siempre en una recta fija llamada eje de homología.

El eje, por tanto, es el lugar geométrico de los puntos que son homólogos de sí mismos (puntos dobles).

Coeficiente de homología

Es la razón doble que forman dos puntos homólogos A y A´,el centro O y el punto P de intersección de la recta AA´ con el eje E.

Si el coeficiente de homología es -1 a la homología se le denomina involución.

Rectas límite

Son el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Las rectas límite son dos L y L´, y son paralelas al eje.

Propiedades

Todas las rectas que se cortan en un mismo punto P de la recta límite tienen sus homólogas paralelas a la dirección OP.

La distancia de una de las rectas límite al centro de homología es la misma que hay desde la otra recta límite al eje de homología.

Cuando la recta límite L está por debajo del centro de homología O, la recta límite L´está por encima del eje de homología E.

Cuando la recta límite L está por encima del centro de homología O, la recta límite L´está por debajo del eje de homología E.

Determinación de una homología

Una homología queda determinada conociendo los siguientes datos:

El eje, el centro y un par de puntos homólogos.
El centro y dos pares de rectas homólogas.
Un punto doble y dos pares de puntos homólogos.
El centro, el eje y una recta límite.
El centro, una recta límite y dos puntos homólogos.
El centro, el eje y el coeficiente de homología.
El centro y las dos rectas límite.
Dos figuras homólogas.

Ejercicios

Ejercicio 1: Hallar el homólogo del punto B, dada una homología definida por el centro O, el Eje E y un par de puntos homólogos AA´.

Ejercicio 2: Dados un par de puntos homólogos AA´, el centro O y el Eje E, determinar las rectas límite.

Ejercicio 3: Hallar el homólogo A´ de un punto A, conociendo el centro de homología O, el Eje E y la recta límite L.

Ejercicio 4: Hallar el homólogo B´de un punto B, conociendo el centro de homología O, el Eje E y un par de puntos homólogos A y A´ alineados con B.

Ejercicio 5:Pentágono homólogo del dado, conociendo O, el eje y un par de puntos homólogos AA´

Ejercicio 6: Hallar el triángulo homólogo del dado, estando el centro O situado entre el Eje y la recta límite RL

Ejercicio 7: Hallar el homólogo del cuadrado propuesto que tiene dos lados paralelos al Eje.

Ejercicio 8: Hallar la figura homóloga del triángulo ABC que corta a la recta límite RL.

Ejercicio 9: Hallar la figura (elipse) homóloga de la circunferencia dada.

Ejercicio 10: Hallar la figura (parábola) homóloga de la circunferencia dada.

Ejercicio 11: determinar la homología que transforma el triángulo ABC en un triángulo equilátero.

Ejercicio 12: Determinar la homología que transforma el cuadrilátero ABCD en un cuadrado.

Lámina 1 en pdf con 8 ejercicios de homología.

Lámina 1 en pdf solución.

Lámina 2 en pdf con 6 ejercicios de homología.
Lámina 2 en pdf solución

Afinidad

La afinidad es una homología de centro impropio, es decir, que está en el infinito. Por tanto, la afinidad es una transformación homográfica que cumple las siguientes leyes:

La recta que une dos puntos afines es paralela a una dirección d de afinidad.
Dos rectas afines se cortan en un punto del eje de afinidad.

En afinidad no existen rectas límite.

Coeficiente de afinidad

Si el coeficiente de afinidad es positivo, los dos puntos A y A´ están al mismo lado del eje, y si es negativo, están a distinto lado.

Construcción de figuras afines

Una afinidad queda determinada conociendo los siguientes datos:

El eje y dos puntos afines.
La dirección de afinidad y el coeficiente.
Dos figuras afines.

Ejercicio 1: Hallar el afín B´ de un punto B, conociendo la dirección de afinidad d, el eje e y un par de puntos afines A y A´.

Ejercicio 2:Dibujar la figura afín del polígono ABCDE dado, conociendo el eje e, la dirección de afinidad y un par de puntos afines AA´.

Ejercicio 3: Afinidad ortogonal. Hallar la figura afín del cuadrado dado el eje y la razón de afinidad K= 1/3

Ejercicio 4:Dibujar la figura afín a la dada, conocido el eje y un par de puntos afines.

Ejercicio 5: Dibujar el afín al pentágono estrellado.

Ejercicio 6 : Dibujar el afín al cuadrado dado.

Ejercicio 7: Dibujar la figuar afín al cuadrado que se apoya en el eje de afinidad.

Ejercicio 8: Afinidad que transforma el triángulo dado en equilátero.

Ejercicio 9: Cuadrado afín a paralelogramo.

Homologia y afinidad

Inversión

La inversión es una transformación que cumple las siguientes leyes:

Dos puntos inversos están alineados con otro fijo llamado centro de inversión.
El producto de distancias del centro de inversión a dos puntos inversos es constante.

Potencia de inversión

Sea un punto O, una circunferencia de centro C y una recta r que pasa por el punto O y corta a la circunferencia en dos puntos A y A´, se llama potencia P de un punto O respecto de la circunferencia de centro C al producto:

p = OA x OA´

Todos los pares de puntos que se obtienen al trazar desde un punto O rectas secantes a una circunferencia son inversos respecto al punto O (centro de inversión).

Si la potencia es positiva, los pares de puntos inversos se encuentran a un mismo lado del centro de inversión, es decir, el centro O es exterior a la circunferencia; en cambio, si la potencia es negativa, los pares de puntos se encontrarán a distinto lado y el centro es interior a la circunferencia.

Propiedades de una inversión

Dos pares de puntos inversos A,A´,B y B´ determinan una circunferencia.
Dos rectas inversas, que unen entre sí dos puntos AB y sus inversos A´B´,son antiparalelas de las rectas que unen los pares de puntos inversos AA´ y BB´ (cuatro rectas son antiparalelas cuando en el cuadrilátero que forman al cortarse, cada ángulo interior es igual al ángulo exterior del vértice opuesto, es decir, cada ángulo es suplementario del opuesto).

Figuras inversas

Una inversión queda determinada conociendo los siguientes datos:

El centro O y un par de puntos inversos AA´.
El centro O y la potencia K.
Dos figuras inversas.

Circunferencia que pasa por el centro de inversión

La figura inversa de una recta r, que no pasa por el centro de inversión O, es una circunferencia que pasa por dicho centro, y recíprocamente, la figura inversa de una circunferencia, de centro C, que pasa por el centro de inversión O, es una recta r perpendicular al diámetro que pasa por O y por C.

Circunferencia que no pasa por el centro de inversión

La figura inversa de una circunferencia, de centro D, que no pasa por el centro de inversión, es otra circunferencia , de centro E, homotética de la anterior, cuyo centro de homotecia es el centro O de inversión y cuya razón de homotecia es igual al cociente entre la potencia de inversión y la potencia de O respecto de la circunferencia de centro D.
Expresado de otro modo, si B' es el inverso de B y A' es el inverso de A respecto del centro de inversión O, sucede que B' es homotético de A y A' es homotético de B respecto del centro de homotecia O.

Elementos dobles de la inversión

En una inversión son elementos dobles los siguientes:

Las rectas que pasan por O (centro de inversión), que con arreglo a las leyes de la transformación serán rectas dobles pero no de puntos dobles.
Las circunferencias de autoinversión. Se llaman así las circunferencias de centro O y radio raíz cuadrada de K (potencia de inversión). Cuando la inversión es de potencia positiva, la circunferencia es de puntos dobles (c.p.d.). Cuando la potencia es negativa la circunferencia no es de puntos dobles.
Todas las circunferencias pasan por un par de puntos inversos, ya que dos pares de puntos inversos AA´ y BB´definen dos pares de rectas antiparalelas, pues OA x OA´ = OB x OB´. Por tanto existe siempre una circunferencia que pase por tales puntos. Estas circunferencias serán dobles pero no de puntos dobles.

La potencia de inversión coincide siempre con la potencia del centro de inversión respecto de cada una de estas circunferencias dobles.

Ejercicio : Hallar el inverso de B, cuando está alineado con OAA´.